Cinetica,Cinematica de cuerpos rigidos en 3D

cinematica de cuerpos rigidos en 3D

Rotación.

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un punto fijo, la distancia r desde el punto hasta una partícula P localizada en el cuerpo es la misma para cualquier posición del cuerpo. Así, la trayectoria del movimiento para la partícula se localiza sobre la superficie de una esfera que tiene un radio r y su centro en el punto fijo. Como el movimiento a lo largo de esta trayectoria ocurre a partir de una serie de rotaciones hechas durante un intervalo de tiempo finito, quizás sea acertado familiarizarse primero con algunas propiedades de los desplazamientos rotacionales.

Teorema de Euler.

Este teorema establece que dos rotaciones “componentes” alrededor de ejes diferentes que pasan a través de un punto son equivalentes a una sola rotación alrededor de un eje que pasa a través del punto. Si se aplican más de dos rotaciones se pueden cambiar  por parejas, y cada pareja reduce finalmente hasta combinarse en una rotación.

Rotaciones finitas.

Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por tanto no pueden clasificarse como cantidades vectoriales.

Rotaciones infinitesimales.

Cuando se definan los movimientos angulares de un cuerpo sujeto a movimiento espacial, solo se consideraran rotaciones que son infinitesimalmente pequeñas. Dichas rotaciones pueden clasificarse como vectores, ya que pueden sumarse vectorialmente de cualquier manera.

Velocidad angular.

Si el cuerpo se sujeta a una rotación angular d0 alrededor de un punto fijo, la velocidad angular instantánea del cuerpo se define por la derivada con respecto al tiempo. La recta que especifica la dirección de w que es colineal con d0 se denomina el eje instantáneo de rotación.

Aceleración angular.

La aceleración angular del cuerpo se determina a partir de la derivada con respecto al tiempo de la velocidad angular.

Derivadas de un vector de traslación y rotación.

Consideremos que los ejes x, y, z del marco de referencia móvil tienen una velocidad angular  Ώ que se mide con respecto a los ejes fijos X, Y, Z. En la discusión siguiente, será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto:

A=Axi+ Ayj+ Azk

En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector.
Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto:

(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.

La forma más general de analizar el movimiento espacial de un cuerpo rígido requiere el uso de un sistema de ejes x, y, z que a la vez que se trasladan giran en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z.

Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

Cinetica de cuerpos Rigidos  en 3 dimensiones

Momento y producto de inercia

La cantidad de movimiento angular  de un cuerpo alrededor de su centro masa  puede determinarse a partir de la velocidad angular  del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

La cantidad de movimiento angular del cuerpo alrededor de puede expresarse como:

Donde  y  denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula  de masa , relativa al sistema de referencia centroidal . Pero , donde  es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en (18.3), se tiene:

Movimiento angular
En el caso particular de un cuerpo rigido restringido a girar en un punto fijo O, aveces resulta conveniente determinar la cantidad de  movimiento angular  Ho del cuerpo al rededor del punto O.

Si bien Ho  podria obtenerse primero calculando Hg
y despues utilizando la ecuacion


En muchas ocaciones es ventajoso determinar Ho directamente  de la velocidad angular W del cuerpo y de sus momento y productos de inercia con respecto al sistema de referencia  Oxyz  Centrado en el punto fijo O. Se escribe con la ecuacion :

Donde r y v denotan, respectivamente el vector de posicion y la velocidad de  la particula P , con respecto al sistema de refrencia fijo Oxyz, Al sustituir
V=w X r, se encontro que  las componentes de la cantidad  de movimiento angular Ho (figura 18.5 b) esta dad por las relaciones

donde los momentos de inercia  Ix, Iy, Iz y los productos de inercia Ixyz  se calculan con respecto al sistema de referencia Oxyz centrado en el punto fijo O.

Ecuaciones del movimiento de Euler

si se eligen los ejes x,y,z  de manera  que coincidan con los ejes con los ejes  principales  de inercia del cuerpo  es posible utilizar  las relaciones simplificadas (18.10)  para determinar las componentes de la cantidad de movimiento angular Hg si se  omiten las primas de los ubindices , se  escribe:

donde Ix,Iy,Iz denotan los momentos de inercia  centroilades del cuerpo  se obtiene:

Estas ecuaciones llamadas Ecuaciones de movimiento de euler, se utilizan para determinar el movimiento de un cuerpo rigido alrededor  de su centro de masa, tenemos  3 ecuaciones  en forma escalar


Las cuales  junto con las  ecuaciones de euler  forman un total de 6 ecuaciones  diferenciales. Asi el moviento de un cuerpo rigido  en tres dimenciones  esta completamente definido por la resultante  y por la resultante de momentos de las fuerzas externas que actuan en el.

Movimiento de un giroscopio

Un giroscopio  consiste esencialmente, en un motor que puede girar libremente al rededor de su eje geometrico.
Para calcular las componentes de velocidad angular y de la cantidad de movimiento  angular del giroscopio , se usara un sistema de ejes en rotacion Oxyz ubicado en el balancin  interno,  con el eje y alo largo de BB’ y el eje z alo largo de CC’ figura (18.16)

Si se denota por i,j,k los vectores unitarios a lo largo de los ejes de rotacion y por K el vector unitario alo largo del eje Fijo Z  se tiene:

Puesto que las componentes del vector que se obtuvieron para W  en (18.33) noson ortogonales figura (18.16) el vector unitario K se descompondra  en componentes alo largo de los ejes x,y,z  y se escribe:

y al sustituir k en (18.33)

Existen 3 ecuaciones principales  que  son :

Estas ecuaciones definen el movimiento  de un giroscopio  sujeto aun sistema dado de fuerzas cuando se ignoran las masas  de sus balancines. Tambien es posible usarlas para definir  el movimiento de un cuerpo simetrico  con respecto aun eje  fijo en un punto  de su eje de simetria, asi como para definir  el movimiento de un cuerpo  simetrico con respecto  aun eje en relacion con su centro de masa.

Movimiento libre de pares

Puesto que la suma de los momentos de las furzas externas  al rededor  al centro de masa G  del cuerpo es cero, al seleccionar un sistema rotatorio de ejes  Gxyz con el eje z  alolargo del eje de simetria del cuerpo, el eje x en el plano  definido por los ejes Z y zy el eje y apuntando en direccion contrario a usted, se tiene:

Puesto que los ejes x,y,z  son ejes principales de inercia  para el cuerpo considerado  es posible escribir :

donde I de nota el momento de inercia del cuerpo  al rededor de su eje de simetria  e I’  su momento de inercia  al rededor de un eje transversal que pasa atraves de G

al dividir  miembro a miembro  la primera  y tercera relaciones  se obtiene  la siguiente relacion entre los los angulos que los vectores w y Hg  forman

considerando el caso de la figura 18.21

Deben  distinguirse dos casos :

a)  I<I’  este es el caso de un cuerpo elongado se tiene y<θ el vector w se  encuentra dentro del angulo ZGz; se dice q la presicion es directa

b)I>I’  este es el caso de un cuerpo elongado se tiene y>θ el vector w se  encuentra dentro del angulo ZGz; se dice q presicion es retrograda.


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